MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sqr2irrlem Structured version   GIF version

Theorem sqr2irrlem 12885
Description: Lemma for irrationality of square root of 2. The core of the proof - if 𝐴 / 𝐵 = √(2), then 𝐴 and 𝐵 are even, so 𝐴 / 2 and 𝐵 / 2 are smaller representatives, which is absurd by the method of infinite descent (here implemented by strong induction). (Contributed by NM, 20-Aug-2001.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
sqr2irrlem.1 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
sqr2irrlem.2 (𝜑𝐵 ∈ ℕ)
sqr2irrlem.3 (𝜑 → (√‘2) = (𝐴 / 𝐵))
Assertion
Ref Expression
sqr2irrlem (𝜑 → ((𝐴 / 2) ∈ ℤ ∧ (𝐵 / 2) ∈ ℕ))

Proof of Theorem sqr2irrlem
StepHypRef Expression
1 2cn 10108 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℂ
2 sqrth 12206 . . . . . . . . . . . 12 (2 ∈ ℂ → ((√‘2)↑2) = 2)
31, 2ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 ((√‘2)↑2) = 2
4 sqr2irrlem.3 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (√‘2) = (𝐴 / 𝐵))
54oveq1d 6132 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((√‘2)↑2) = ((𝐴 / 𝐵)↑2))
63, 5syl5eqr 2489 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 2 = ((𝐴 / 𝐵)↑2))
7 sqr2irrlem.1 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
87zcnd 10414 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
9 sqr2irrlem.2 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐵 ∈ ℕ)
109nncnd 10054 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
119nnne0d 10082 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵 ≠ 0)
128, 10, 11sqdivd 11574 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐴 / 𝐵)↑2) = ((𝐴↑2) / (𝐵↑2)))
136, 12eqtrd 2475 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 2 = ((𝐴↑2) / (𝐵↑2)))
1413oveq1d 6132 . . . . . . . 8 (𝜑 → (2 · (𝐵↑2)) = (((𝐴↑2) / (𝐵↑2)) · (𝐵↑2)))
158sqcld 11559 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
169nnsqcld 11581 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℕ)
1716nncnd 10054 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
1816nnne0d 10082 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐵↑2) ≠ 0)
1915, 17, 18divcan1d 9829 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝐴↑2) / (𝐵↑2)) · (𝐵↑2)) = (𝐴↑2))
2014, 19eqtrd 2475 . . . . . . 7 (𝜑 → (2 · (𝐵↑2)) = (𝐴↑2))
2120oveq1d 6132 . . . . . 6 (𝜑 → ((2 · (𝐵↑2)) / 2) = ((𝐴↑2) / 2))
221a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
23 2ne0 10121 . . . . . . . 8 2 ≠ 0
2423a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → 2 ≠ 0)
2517, 22, 24divcan3d 9833 . . . . . 6 (𝜑 → ((2 · (𝐵↑2)) / 2) = (𝐵↑2))
2621, 25eqtr3d 2477 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴↑2) / 2) = (𝐵↑2))
2726, 16eqeltrd 2517 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴↑2) / 2) ∈ ℕ)
2827nnzd 10412 . . 3 (𝜑 → ((𝐴↑2) / 2) ∈ ℤ)
29 zesq 11540 . . . 4 (𝐴 ∈ ℤ → ((𝐴 / 2) ∈ ℤ ↔ ((𝐴↑2) / 2) ∈ ℤ))
307, 29syl 16 . . 3 (𝜑 → ((𝐴 / 2) ∈ ℤ ↔ ((𝐴↑2) / 2) ∈ ℤ))
3128, 30mpbird 225 . 2 (𝜑 → (𝐴 / 2) ∈ ℤ)
321sqvali 11499 . . . . . . . 8 (2↑2) = (2 · 2)
3332oveq2i 6128 . . . . . . 7 ((𝐴↑2) / (2↑2)) = ((𝐴↑2) / (2 · 2))
348, 22, 24sqdivd 11574 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐴 / 2)↑2) = ((𝐴↑2) / (2↑2)))
3515, 22, 22, 24, 24divdiv1d 9859 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝐴↑2) / 2) / 2) = ((𝐴↑2) / (2 · 2)))
3633, 34, 353eqtr4a 2501 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐴 / 2)↑2) = (((𝐴↑2) / 2) / 2))
3726oveq1d 6132 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐴↑2) / 2) / 2) = ((𝐵↑2) / 2))
3836, 37eqtrd 2475 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴 / 2)↑2) = ((𝐵↑2) / 2))
39 zsqcl 11490 . . . . . 6 ((𝐴 / 2) ∈ ℤ → ((𝐴 / 2)↑2) ∈ ℤ)
4031, 39syl 16 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴 / 2)↑2) ∈ ℤ)
4138, 40eqeltrrd 2518 . . . 4 (𝜑 → ((𝐵↑2) / 2) ∈ ℤ)
4216nnrpd 10685 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℝ+)
4342rphalfcld 10698 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐵↑2) / 2) ∈ ℝ+)
4443rpgt0d 10689 . . . 4 (𝜑 → 0 < ((𝐵↑2) / 2))
45 elnnz 10330 . . . 4 (((𝐵↑2) / 2) ∈ ℕ ↔ (((𝐵↑2) / 2) ∈ ℤ ∧ 0 < ((𝐵↑2) / 2)))
4641, 44, 45sylanbrc 647 . . 3 (𝜑 → ((𝐵↑2) / 2) ∈ ℕ)
47 nnesq 11541 . . . 4 (𝐵 ∈ ℕ → ((𝐵 / 2) ∈ ℕ ↔ ((𝐵↑2) / 2) ∈ ℕ))
489, 47syl 16 . . 3 (𝜑 → ((𝐵 / 2) ∈ ℕ ↔ ((𝐵↑2) / 2) ∈ ℕ))
4946, 48mpbird 225 . 2 (𝜑 → (𝐵 / 2) ∈ ℕ)
5031, 49jca 520 1 (𝜑 → ((𝐴 / 2) ∈ ℤ ∧ (𝐵 / 2) ∈ ℕ))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wb 178  wa 360   = wceq 1654  wcel 1728  wne 2606   class class class wbr 4243  cfv 5489  (class class class)co 6117  cc 9026  0cc0 9028   · cmul 9033   < clt 9158   / cdiv 9715  cn 10038  2c2 10087  cz 10320  cexp 11420  csqr 12076
This theorem is referenced by:  sqr2irr  12886
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1628  ax-9 1669  ax-8 1690  ax-13 1730  ax-14 1732  ax-6 1747  ax-7 1752  ax-11 1764  ax-12 1954  ax-ext 2424  ax-sep 4361  ax-nul 4369  ax-pow 4412  ax-pr 4438  ax-un 4736  ax-cnex 9084  ax-resscn 9085  ax-1cn 9086  ax-icn 9087  ax-addcl 9088  ax-addrcl 9089  ax-mulcl 9090  ax-mulrcl 9091  ax-mulcom 9092  ax-addass 9093  ax-mulass 9094  ax-distr 9095  ax-i2m1 9096  ax-1ne0 9097  ax-1rid 9098  ax-rnegex 9099  ax-rrecex 9100  ax-cnre 9101  ax-pre-lttri 9102  ax-pre-lttrn 9103  ax-pre-ltadd 9104  ax-pre-mulgt0 9105  ax-pre-sup 9106
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1661  df-eu 2292  df-mo 2293  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2717  df-rex 2718  df-reu 2719  df-rmo 2720  df-rab 2721  df-v 2967  df-sbc 3171  df-csb 3271  df-dif 3312  df-un 3314  df-in 3316  df-ss 3323  df-pss 3325  df-nul 3617  df-if 3768  df-pw 3830  df-sn 3849  df-pr 3850  df-tp 3851  df-op 3852  df-uni 4045  df-iun 4124  df-br 4244  df-opab 4298  df-mpt 4299  df-tr 4334  df-eprel 4529  df-id 4533  df-po 4538  df-so 4539  df-fr 4576  df-we 4578  df-ord 4619  df-on 4620  df-lim 4621  df-suc 4622  df-om 4881  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5453  df-fun 5491  df-fn 5492  df-f 5493  df-f1 5494  df-fo 5495  df-f1o 5496  df-fv 5497  df-ov 6120  df-oprab 6121  df-mpt2 6122  df-2nd 6386  df-riota 6585  df-recs 6669  df-rdg 6704  df-er 6941  df-en 7146  df-dom 7147  df-sdom 7148  df-sup 7482  df-pnf 9160  df-mnf 9161  df-xr 9162  df-ltxr 9163  df-le 9164  df-sub 9331  df-neg 9332  df-div 9716  df-nn 10039  df-2 10096  df-3 10097  df-n0 10260  df-z 10321  df-uz 10527  df-rp 10651  df-seq 11362  df-exp 11421  df-cj 11942  df-re 11943  df-im 11944  df-sqr 12078  df-abs 12079
  Copyright terms: Public domain W3C validator